Nella lezione precedente abbiamo appreso quali sono le regole da applicare per risolvere una DISEQUAZIONE INTERA di SECONDO GRADO. Ora vediamo alcuni ulteriori esempi. Esempio 1: -6x 2 +17x -5 < 0. La disequazione � gi� ridotta a forma normale. Troviamo le sue radici applicando la formula risolutiva: Le radici del trinomio di secondo grado sono: x 1 = 1/3; x 2 = 5/2. Il DISCRIMINANTE � MAGGIORE DI ZERO, quindi applichiamo la regola del DICE: confrontiamo il primo coefficiente ( -6) con il segno della disequazione ( <). I segni sono CONCORDI, quindi la soluzione della disequazione � data dai valori ESTERNI all'intervallo trovato. Pertanto la soluzione cercata �: x < 1/3 x > 5/2. 2: - x 2 +4x +21 > 0. = -3; = 7. primo coefficiente ( -1) con il segno della disequazione ( >). I segni sono DISCORDI, quindi la soluzione della disequazione � data dai valori INTERNI -3 < x < 7. 3: -6x +10 > 0. Troviamo le radici del trinomio di secondo grado applicando la formula risolutiva: � MINORE DI ZERO, quindi il trinomio ha SEGNO UGUALE a quello del PRIMO COEFFICIENTE ( +1) per QUALUNQUE VALORE di x. Poich� noi stiamo cercando i valori di x che rendono positivo ( > 0) il trinomio possiamo dire che la disequazione � verificata per qualsiasi valore di x.
Vediamo come si ricavano dal disegno della parabola.
Le disequazioni di secondo grado sono disequazioni in cui l'incognita \(x\) è elevata al quadrato, ovvero disequazioni della forma $$ ax^2+bx+c \geq0 \ \mbox{ oppure} \ ax^2+bx+c \leq0, $$ o eventualmente con i segni "stretti" \(>\) o \(<\). Ricordiamo che \(a, b, c\) sono dei numeri reali e inoltre vogliamo che \(a\) sia diverso da \(0\), altrimenti l'equazione sarebbe di primo grado. L'insieme delle soluzioni di una disequazione è in generale costituito da intervalli di numeri reali, delimitati come vedremo dalle soluzioni dell'equazione di secondo grado associata. Sfrutteremo un'interpretazione geometrica delle equazioni (e disequazioni) di secondo grado, che permette di rendere più semplice e meno mnemonico lo studio di questi argomenti. Se rappresentiamo sul piano cartesiano l'equazione \(y=ax^2+bx+c\) otteniamo una parabola, convessa se \(a>0\) e concava se \(a< 0\). \(y=ax^2+bx+c\) è l'equazione di una parabola. Usa i pulsanti per vedere come cambia la concavità della parabola a seconda del segno del coefficiente \(a\).
se \(\Delta\)< 0 l'equazione associata non ha soluzioni, ma attenzione! non è detto che la disequazione sia impossibile!
1) Come abbiamo visto nella lezione sulle equazioni di secondo grado, questo tipo di equazioni possono ammettere 2, 1 oppure 0 soluzioni a seconda del segno del discriminante. 2) Le soluzioni dell'equazione associata, geometricamente, sono i punti in cui una parabola di equazione \(y=ax^2+bx+c\) interseca l'asse delle ascisse. Se \(\Delta>0\) troviamo due soluzioni quindi disegniamo una parabola che interseca l'asse delle \(x\) due volte. Se \(\Delta=0\) troviamo una sola soluzione, quindi disegniamo una parabola che interseca l'asse delle \(x\) una volta (ovvero è tangente all'asse delle \(x\)). Infine se \(\Delta< 0\) non ci sono soluzioni, dunque la parabola non interseca mai l'asse delle \(x\) e la disegniamo staccata sopra di esso. Il discriminante \(\Delta\) dell'equazione associata ci dice se la parabola interseca l'asse \(x\) 2, 1 o 0 volte. Clicca sui pulsanti per vedere le diverse possibilità. La disequazione di partenza ci chiede per quali \(x\) la parabola sta sopra (\(\geq, > \)) o sotto (\(\leq, < \)) l'asse delle ascisse.
Per comodità possiamo sempre fare riferimento alla parabola convessa, cioè con \(a \gt0\), infatti è sufficiente moltiplicare entrambi i membri della disequazione per \(-1\) (ricordandosi di cambiare il verso della disuguaglianza) per portarla nella forma opportuna, ovvero con \(a>0\). Se abbiamo la disequazione $$-3x^2 +2x +5 \geq 0$$ moltiplichiamo entrambi i membri della disequazione per \(-1\) (ricordando di invertire la relazione! ) e otteniamo $$3x^2-2x-5 \leq 0$$ Risoluzione di una disequazione di secondo grado Per risolvere una disequazione di secondo grado \(ax^2+bx+c \ge 0\) (o uno degli altri segni di disuguaglianza) con \(a \gt 0\) dobbiamo: 1) Trovare le soluzioni della equazione di secondo grado associata $$ ax^2+bx+c=0. $$ 2) Disegnare schematicamente una parabola (con concavità rivolta verso l'alto poiché abbiamo fatto in modo di avere \(a \gt 0\)) a seconda delle soluzioni trovate e decidere quali sono gli intervalli che costituiscono le soluzioni della disequazione di partenza.
se \(\Delta\)< 0 l'equazione associata non ha soluzioni, ma questa volta anche la disequazione non ha soluzioni, perchè non è mai negativa $$\not\exists \ x \in \mathbb{R}$$ Vediamo qualche esempio di quanto visto finora. Esempio 1: consideriamo la disequazione: $$x^2-5x+6\geq 0$$ Il coefficiente di \(x^2\) è \(1>0\) quindi siamo nella forma giusta! Risolviamo innanzitutto l'equazione associata: $$x^2-5x+6=0$$ Il discriminante è \(\Delta=1\), quindi abbiamo due soluzioni dell'equazione associata che sono $$x_1=2 \ \mbox{e} \ \ x_2=3. $$ Disegniamo la parabola e vediamo subito che i punti in corrispondenza dei quali la parabola è positiva sono $$x\leq 2 \lor x\geq 3 $$ Esempio 2: consideriamo la disequazione $$-x^2 + 3x -4 >0. $$ Questa volta il coefficiente di \(x^2\) è \(-1< 0\), cambiamo quindi i segni e invertiamo la relazione, ottenendo: $$x^2 - 3x +4 < 0. $$ L'equazione associata \(x^2 - 3x +4 = 0\) ammette due soluzioni \(x_1=-1 \ \mbox{e} \ x_2=4\), andiamo a disegnare la parabola nel piano e come si vede dal disegno la soluzione è $$-1 < x < 4 $$ Esempio 3: consideriamo la disequazione $$ 4x^2 -4x + 1 \leq 0.
4: 4x 2 +2x +5 < 0. Troviamo le radici del trinomio di secondo grado applicando la formula risolutiva: PRIMO COEFFICIENTE ( +4) per QUALUNQUE VALORE di x. rendono negativo ( < 0) il trinomio possiamo dire che la disequazione non � mai verificata. 5: -8x +16 > 0. � UGUALE a ZERO, quindi il trinomio si annulla quando la variabile assume il valore +4. Negli altri casi il trinomio ha SEGNO UGUALE a quello del PRIMO COEFFICIENTE ( +1). il trinomio possiamo dire che la disequazione � verificata per qualsiasi valore diverso da ≠ 4. 6: +2x +2 < 0. del trinomio applicando la formula quindi il trinomio si annulla quando la variabile assume il valore -1. il trinomio possiamo dire che la disequazione � non � mai verificata per qualsiasi valore assunto da x. Lezione precedente - Lezione successiva Indice argomenti sulle disequazioni di secondo grado